Non-PL sphere

記述

単体の境界と区分的に線形な同相写像を有する球面をPL球面という。 3次元以下の球面はすべてPLであるが、5次元以上だとPLでない球面も 存在することが知られている。その有名な構成方法が「二重懸垂定理」 で、ホモロジー球面(球面と同じホモロジーを持つ多様体)を2回サスペンション をとると球面と同相になるというもので、こうして得られた球面は もとのホモロジー球面が球面でない場合、PLではないことが知られている。
ここで与えるデータはポアンカレ球面を2回サスペンションしたもので、 poincare.datと同様、BjornerとLutz によって与えられたもの。これは、通常2頂点を追加してサスペンションを とるところを1頂点しか追加しないでサスペンションをとるという 「1点サスペンション(Dattaのトリック)」という手法を用いている。 この手法により、彼らの得た16頂点からなるポアンカレ球面の三角形分割 をもとにして、18頂点からなる5次元のnon-PL球面の三角形分割が 得られている。(ファセットは269個。)

組合せ分割に関して

Constructibleな多様体はPLな球面か球体になるので、PLでない球面の 三角形分割はconstructibleではない。しかし、Cohen-Macaulayという 性質の方は同相性で不変なのでCohen-Macaulayではある。

データ

nonpl_sphere.dat

表

vertex decomposable?	no
extendably shellable?	no
shellable?	no
constructible?	no
Cohen-Macaulay?	yes
topology	non-PL 5-sphere
f-vector	(1,18,141,515,930,807,269)
h-vector	(1,12,66,111,66,12,1)
made by	Edwards, 三角形分割はBjorner&Lutz

参考文献

A.Bjorner and F.H.Lutz, Simplicial manifolds, bistellar flips and a 16-vertex triangulation of the Poincar\'e homology 3-sphere", to appear in Experimental Mathematics.

F.H.Lutz, Triangulated manifolds with few vertices and vertex-transitive group actions , Shaker Verlag (1999).