3辺からなる結び目を持つ3次元球面

Shellableでない球面の三角形分割の存在はLickorish(1991)によって 示されたが、それは「3次元球面の三角形分割中に3辺からなる結び目で 十分に複雑なものが含まれていたらshellableでない」という言明だった。 このような、結び目を3辺で埋め込むような3次元球面の三角形分割は 下のような構成法が知られている。 まず、Furchの球体の構成法にしたがって、 1辺からなる結ばったspanning arcを持つ3次元球体の三角形分割を 作る(上図左)。これに新しい頂点vを加え、vから球体の境界上の三角形にむけて ピラミッドを作っていく。vから境界上のすべての三角形にピラミッドを 作ると、これは3次元球面の三角形分割になる。(ユークリッド空間に 無限遠点を加えてコンパクト化するようなものと考えればよい。) このとき、もとの結ばったspanning arcをなす1辺と、その両端点から vまで結ぶ2つの辺の3辺で結び目が出来ている。

下で与えているデータはknot.datに1点を付け加えて 球面化したもので、381頂点、1928ファセットで出来ている。

組合せ分割に関して

もともとは、3辺からなる結び目が「十分に複雑な」時にshellableでなくなる という定理であったが、実は、複雑でなくでも結ばってさえいなければshellable ではない。さらに、constructibleでもないことまで示されている。

データ

nc_sphere.dat

表

vertex decomposable?	no
extendably shellable?	no
shellable?	no
constructible?	no
Cohen-Macaulay?	yes
topology	3-sphere
f-vector	(1,381,2309,3856,1928)
h-vector	(1,377,1172,377,1)
made by	Lickorish (またはfolklore)

参考文献

W.B.R.Lickorish, Unshellable triangulations of spheres, Europ. J. Cominatorics 12 (1991), 527-530.

M.Hachimori and G.M.Ziegler, Decompositions of balls and spheres with knots consisting of few edges, Math. Z., to appear.

Remark:
F.Lutzによる文献：

• F.H. Lutz, Small examples of non-constructible simplicial balls and spheres, SIAM J. Discrete Math. 18, 103-109 (2004).