生物の進化の歴史を表す系統樹の推定は生物学における基本的な問題で ある．その推定手法は多く開発されているものの，推定に用いる遺伝子 座等の種類によって推測される系統樹が大きく異なることがある．そこ で，近年では推測された系統樹の集合を統計的に分析する手法が開発さ れている．系統樹のなす空間はユークリッド空間の非負象限のいくつか が貼り合わさったCAT(0)空間と捉えられる．本発表では，この空間上の 確率分布の推定手法として，対数凹密度のクラスを用いた最尤推定量を 考え，推定量の存在性と一意性の条件について述べた後，低次元の場合 における計算アルゴリズムを紹介する．また，実用に向けたいくつかの 課題について議論する．
フランクルの予想は、union closed set conjectureとも呼ばれ、組み合わせ論に おける長年の未解決問題として知られる。有限な集合族が、合併で閉じているとき、 ある台集合の点が存在して、半分以上の集合族の要素に含まれるというものである。 束や2部グラフなどいろいろな同値な定式化があるが、今回は、共通部分で閉じて いる形の集合族で考える。有限な集合族が、共通部分で閉じているとき、ある台集 合の点が存在して、その点は半分以下の集合族の要素にしか含まれないというもの である。 今回は、共通部分の形で考えると自然な集合族のクラスを考え、そのクラスには フランクルの予想の反例が存在しないことを示す。
2次元Gorenstein巡回商特異点に対しては極小特異点解消が得られ、その例外因子と 付随するHirzebrch-Jung連分数の係数は順序を込めて対応することが知られている。 この次元に関する拡張として、足利正氏が導入した高次元連分数がある。この高次元 連分数は、ある藤木・岡のトーリック特異点解消と対応し、多くの場合Gヒルベルト スキームとは異なる細分を得る。 本講演では、この高次元連分数を用いて、任意の3次元Gorenstein abelian商特異点 に対し、クレパントな藤木・岡のトーリック特異点解消が構成できることを示す。 本研究は佐藤悠介氏との共同研究である。
Symmetric edge polytopes, a class of reflexive graph polytopes, have become a popular object of study in recent years. In particular, the behaviour of the roots of their Ehrhart polynomials have garnered some attention. For example, symmetric edge polytopes from cycles were used by Ohsugi and Shibata in 2011 as a class of polytopes whose Ehrhart polynomials have a root with a large real part, which settled a conjecture about bounds of Ehrhart polynomial roots. On the other hand, symmetric edge polytopes of trees, also known as cross-polytopes, were among the first known classes of CL-polytopes — lattice polytopes whose roots lie on the canonical line, i.e., the set of complex numbers with real part -½. In 2017, Higashitani, Kummer, and Michałek extended this result to symmetric edge polytopes from complete bipartite graphs of the form K2,n and K3,n, and from complete graphs K1,1,...,1. They accomplished this using methods from the theory of interlacing polynomials. Further, they conjectured that all symmetric edge polytopes from multipartite graphs are CL-polytopes.
In this talk, we will present additional evidence for this conjecture within other classes of complete multipartite graphs. Further, we will present some results and conjectures regarding the full class of complete multipartite graphs and the interlacing methods used to study them.